La logique, le langage et la barbe à papa

le 16 mars 2012. dans Ecrits, La une, Humour

La logique, le langage et la barbe à papa

 

Supposons que l’individu I gagne un salaire mensuel de 1000 euros, et envisageons l’affirmation A(X) = « I gagne un salaire mensuel de X euros ».

 

 

Avec la logique habituelle dichotomique, on a :

 

 

V( A(1000) ) = 1

V( A(X) ) = 0  dès que X ≠ 1000

 

 

Avec notre logique à trois valeurs de vérité, on pourrait poser :

 

V( A(1000) ) = 1

V( A(X) ) = 1 / 2 pour  0 < X < 1000 ou 1000 < X < 2000

V( A(X) = 0 pour X = 0 ou X ≥ 2000

 

 

Bien sûr, c’est mieux, mais on réalise tout de même que c’est loin d’être idéal. On aimerait bien par exemple que :

 

 

Si  0 ≤ X1 < X2 ≤ 1000 alors 0 ≤ V( A(X1) ) < V( A(X2) ) ≤ 1

Si 1000 ≥ X3 > X4  alors 1 ≥ V( AX3) ) > V( A(X4) ) ≥ 0

 

 

On peut alors poser :

 

 

V’( A(X) ) = X / 1000  pour 0 ≤ X ≤ 1000

V’( A(X) ) = 1000 / X pour X ≥ 1000

 

 

La logique bivaluée et la logique trivaluée sont donc incapables de rendre compte de manière fine de la valeur de vérité d’une affirmation portant sur une quantité. Pour ce faire, il est nécessaire d’introduire des valeurs de vérité intermédiaires entre 0 et 1 / 2 et 1 / 2 et 1, ce que nous avons fait avec notre formule, qui peut se résumer à :

 

 

V’( X = Y ) = Min ( X , Y ) / Max ( X , Y ) pour X et Y non tous deux nuls

V’( 0 = 0 ) = 1

 

 

On peut constater que cette formule est symétrique : V’( X = Y ) = V’( Y = X )

 

 

On appelle la logique reposant sur un continuum de valeurs de vérité entre 0 et 1 la logique floue.

 

 

Si j’affirme A que I a deux jambes, alors :

 

 

S’il est cul de jatte, V’(A) = 0

S’il est unijambiste, V’(A) = 1 / 2

S’il a deux jambes, V’(A) = 1

 

 

Sur cet exemple, on pourrait donc penser que la logique floue est une extension naturelle de la logique trivaluée, qui respecte ses règles. Ainsi, on peut poser :

 

 

V’( A ou B ) = Max ( V’(A) , V’(B) )

V’( A et B ) = Min ( V(A) , V’(B) )

 

 

Mais, on s’aperçoit que la valeur 1 / 2 de la logique floue ne se superpose pas à la valeur i de la logique trivaluée, pour laquelle on a par exemple V( i = i ) = i, alors qu’ici V’( 1 / 2 = 1 / 2 ) = 1.

 

 

De manière générale :

 

 

V(U) = v  <=> V’U) = 1

V(U) = f  <=> V’(U) = 0

V(U) = i  => V’(U) = 1 / 2

 

 

Mais dans le dernier cas, l’implication réciproque est fausse !

 

 

Aussi, la logique floue n’est pas une simple extension de la logique trivaluée.

 

La logique floue est cependant utile, en ce qu’elle permet par exemple de résoudre à bon compte le paradoxe du barbu, qui se présente de la manière suivante : « Si j’enlève un poil de barbe à un barbu, il reste barbu, si j’en enlève un deuxième, c’est idem, mais si je finis par lui enlever le dernier poil, il est glabre ».

 

En effet, cette logique permet de rendre compte du fait que l’affirmation A(n), « l’individu I est barbu quand il a n poils au cm² sur toute la surface de son menton », a une valeur de vérité continument décroissante de 1 à 0, au fur et à mesure que n décroît.

 

Quand cette valeur de vérité est proche de 1, I est barbu, et quand elle est proche de 0, I est glabre.

 

 

On remarque en conséquence qu’un homme peut n’être ni glabre ni barbu, ce que nous appellerons « être glabu ». Un homme est donc soit glabre, soit glabu, soit barbu, et nous pouvons définir l’indice de « barbosité » d’un individu I comme valeur de vérité de l’affirmation B, « I est barbu ». Alors :

 

Si I est glabre : V(B) = f

Si I est glabu : V(B) = i

Si I est barbu : V(B) = v

 

 

Deux problèmes subsistent :

 

 

1) Il semblerait qu’on ne sache pas fixer autrement que de manière arbitraire les deux valeurs de n entre lesquelles I est glabu.

2) Ceci fait, même de manière arbitraire, le paradoxe semble réapparaître. Il suffit de remplacer glabre par glabu dans l’énoncé du paradoxe initial.

 

 

Supposons que le nombre maximal de poils par centimètre carré d’une peau humaine soit N, alors on peut poser, arbitrairement bien sûr, que :

 

 

Si  n / N > 5 / 6 , I est barbu

Si  1 / 6 ≤ n / N ≤ 5 / 6 , I est glabu

Si  n / N < 1 / 6 , I est glabre

 

 

A première vue, cela revient à poser :

 

 

V’( B) > 5 / 6  <=> V(B) = v (a)

1 / 6 ≤ V’(B) ≤ 5 / 6 <=> V(B) = i (b)

V’(B) < 1 /6 <=> V(B) = f (c)

 

 

On sait que (« A => B » = v et « A = v » = v) => B = v. Examinons alors (b), dans son sens direct :

 

 

1 / 6 ≤ V’(B) ≤ 5 / 6  =>  V(B) = i

 

 

Si cette l’implication est vraie et que V(« 1 / 6 ≤ V’(B) ≤ 5 / 6 » ) = v, alors V(« V(B) = i ») = v , avec V(B) = i, ce qui implique V(« i=i ») = v, alors que l’on sait que V(« i=i ») = i.

 

 

Partant de là, (b) ne peut-être une équivalence exacte, ni non plus (b) et (c), par conséquent, et cela ne dépend pas du choix des valeurs seuils. La nature particulière de la valeur i de la logique trivaluée empêche toute équivalence entre celle-ci et une plage de valeur de la logique floue.

 

 

Dans le respect de la logique, aussi bien floue que trivaluée, on ne devrait donc jamais dire que l’on est glabre ou barbu, mais plutôt d’une faible ou importante barbosité, voire de barbosité moyenne, si l’on est simplement glabu.

 

 

Gilles Josse

 

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