Méfions-nous des diseurs de vérité

le 06 avril 2012. dans Ecrits, La une, Société

Méfions-nous des diseurs de vérité

 

J’imagine que vous connaissez le paradoxe du diseur de vérité que l’on prend en défaut en lui affirmant P, « à cette phrase, tu vas répondre qu’elle est fausse ». Si celui-ci ne connaît que les deux valeurs de vérité vrai et faux de la logique habituelle dichotomique, il ne sait pas dire si P est vraie ou fausse : aucune solution ne convient.

Naïvement, on pourrait pourtant penser qu’il existe des individus un peu particuliers, qui connaissent la vérité sur toutes choses. Si je dis à un tel IPP qu’il pleut, il me répondra donc que c’est vrai, s’il pleut effectivement, que c’est faux s’il ne pleut pas du tout, et que c’est indéterminé s’il pleuvine. En ajoutant une troisième valeur de vérité indéterminée à la logique habituelle, on espère tirer notre diseur de vérité du mauvais pas dans lequel P l’avait placé.

Encore que…

Supposons que je lui dise A : « à cette affirmation, tu vas répondre qu’elle est fausse ou indéterminée ».

S’il répond que A est fausse, j’ai donc raison, donc A est vraie, d’où contradiction.

S’il répond que A est vraie, alors c’est que j’avais tort, donc A est fausse, d’où contradiction.

A ne peut donc être qu’indéterminée… Mais s’il répond de cette sorte, cela semble indiquer que j’avais raison, donc que A est vraie, d’où une dernière contradiction.

En première lecture, il ne semble donc pas possible à notre IPP d’attribuer à A une des trois valeurs de vérité possibles ; v pour vrai, f pour faux, et i pour indéterminé.

Reprenons notre analyse du problème. Qu’affirme A, en définitive ? A parle de sa propre valeur de vérité, que nous appellerons V(A) et affirme donc :

« V(A) = f ou V(A) = i »

En logique classique, f = 0 et v = 1, d’où v < f. Ici, si on considère l’exemple de la pluie, il semble naturel de poser f < i < v, avec i = 1 / 2.

Toujours en logique classique, V(X ou Y) = Max (V(X), V(Y)). Nous conserverons donc la même formule, étendue au cas où il existe la troisième valeur de vérité i.

Donc, si A est fausse, V(A) = f, donc V(« V(A) = f »)=v, donc V(A) = V(« V(A) = f ou V(A) = i ») = v, d’où contradiction : A ne peut être fausse.

Si on suppose maintenant que A est vraie, alors V(A) = v = V(« V(A) = f ou V(A) = i ») = Max (V(« V(A) = f ») ; V(« V(A) = i »)) = Max (V( v = f) ; V(v = i)).

Mais, vraisemblablement, en repensant à l’exemple de la pluie, il est naturel de penser que « v = i » est plus « vrai » que « v = f », d’où l’on déduit V(A) = v = V(v = i). Mais est-il bien raisonnable de penser que lorsqu’il pleut, c’est la même chose que lorsqu’il pleuvine ? Certainement pas, ce qui implique que V( v = i ) est au mieux indéterminé, et au pire faux, d’où l’on déduit une nouvelle contradiction.

Pour lever le paradoxe engendré par notre affirmation A, il est donc nécessaire de supposer que V(A) = i, et que cela ne soulève pas de nouvelle contradiction. On en déduit :

V(A) = i = V(« V(A) = f ou V(A) = i ») = Max (V( i = f ) ; V( i = i ))

Là encore, il semble naturel de poser que « i = f » est moins vrai que « i = i », d’où l’on déduit : V( i = i ) = i, ou de manière plus explicite, V(A) = i = V(V(A) = i).

Autrement dit, la seule valeur de vérité que notre IPP peut attribuer à A est la valeur incertaine ou indéterminée, et cette attribution est elle-même incertaine.

Partant de ce résultat, considérons l’affirmation B = « V(A) = v ou V(A) = f », alors V(B) = Max (V(V(A) = f) ; V(V(A) = v) = V(V(A) = v) = V (V(A) = f), puisque les valeurs v et f sont symétriques par rapport à i = V(A).

Il n’y a en effet aucune raison pour que la valeur de vérité indéterminée soit plus proche de la valeur vraie que de la valeur fausse, ou inversement.

D’où l’on déduit : V(B) = V(V(A) = v) = V (V(A) = f) = V(i = v) = V(i = f).

Mais, d’autre part, on ne peut pas affirmer qu’il pleuvine, c’est la même chose que « il pleut » ou bien « il ne pleut pas du tout », donc, nécessairement V(i = v) et v(i = f)ne peuvent valoir que i ou f (résultat 1).

 

Considérons maintenant C = (« V(A) = v ou V(A) = f ou V(A) = i »). On serait bien tenté de dire que V(C) = v, en appliquant le principe de disjonction des cas qu’on emploie dans la logique usuelle dichotomique.

En tout cas, il est impossible que V(C) vaille f, car on voit que V(C) = Max (V( i = v) ; V(i = f) ; V(i = i)) est forcément supérieur à i = V (i = i). Il s’ensuit donc que V(v = i) = V(f = i) vaut donc i ou v. Ce résultat, confronté au résultat 1, on en conclut donc deux choses :

  • V(i = v) = V(i = f) = i
  • Le principe de disjonction des cas ne s’applique pas et V(C) = V(« V(A) = v ou V(A) = f ou V(A) = i ») = i, ce qui provient directement de ce que V(i = i) n’est pas vrai, comme on pourrait le penser, mais simplement indéterminé.

 

La conclusion de tout ceci est un peu étrange, dans le sens où notre diseur de vérité IPP peut nous garantir que l’affirmation de départ A n’est ni vraie ni fausse, mais ne peut nous assurer que sa valeur de vérité soit effectivement 1 / 2 ou i ! Autrement dit, le paradoxe engendré par P est remplacé par un autre, qui n’a pas l’air beaucoup plus facile à éliminer.

 

Comme quoi il faut se méfier des diseurs de vérité !

 

 

Gilles Josse

 

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