Carrés

Ecrit par Pierre Audin le 17 septembre 2010. dans Mathématiques

Carrés

Supposons qu'au lieu d'élever des chats, vous vouliez devenir professeur d'école. Ah, vous allez devoir enseigner, entre autres, des mathématiques : des mathématiques élémentaires, pour l'école élémentaire, mais des mathématiques tout de même. Pour montrer vos compétences, vous allez devoir répondre à des questions, élémentaires. Voici donc une question élémentaire.

Deux carrés sont l'un inscrit dans un cercle, l'autre circonscrit au même cercle.

(Vous trouvez ça compliqué ? Regardez le dessin.)

"a" est l'aire du petit carré et "A" est l'aire du grand carré. Est-il vrai que A = 2a ? Justifiez votre réponse.

L'énoncé a déclenché des discussions : selon certains spécialistes, il se fait en quinze secondes. Et pour vous ? Carré, cercle, tout ça est très élémentaire, la réponse (oui ou non) et surtout la justification devraient rester élémentaires.

A propos de l'auteur

Pierre Audin

Pierre Audin

Rédacteur

Pierre Audin, fils de son père, frère de sa soeur, professeur défroqué de mathématiques.

Médiateur scientifique au département de mathématiques du Palais de la découverte.

Site : http://audin.lautre.net

Commentaires (13)

  • Lemarsien

    Lemarsien

    08 septembre 2011 à 19:03 |
    Euh... c'était de l'humour, au fait, à deux balles peut-être mais de l'humour.
    Au cas où certains ne se serait rendu compte de rien, ma solution est fausse, bien sûr...a=2A...Si,si! La surface du petit carré est deux fois plus grande que le grand, c'est évident, non?
    Et à votre avis, d'où viender l'erreur?

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  • Lemarsien

    Lemarsien

    06 septembre 2011 à 18:37 |
    Bijour à tous!

    Je viens de tomber par hasard ici (mais même pas mal), en faisant des recherches sur la "quadrature du cercle", mais on s'en fout; comme j'ai cinq minutes devant moi, je vais jacasser comme une pie.

    Plusieurs choses:

    -La quatrième et le cours élémentaire, ça fait deux.
    C'est un pb de collégien,loin d'être "élémentaire" mon cher Jackson, un chat est un chat.
    M'étonnerai qu'un élève d'élémentaire y réponde "correctement", surtout de nos jours...

    -Vos démonstrations en faisant tourner quoi que ce soit (à part les serviettes) n'est pas plus démonstratif mathématiquement parlant et même moins qu'une découpe aux ciseaux, je regrette.
    Cà, c'était une petite "vengeance" gratuite because of one of de mes anciens profs de Maths, veuillez-m'en tamponner...!
    Et donc, de ce fait, 15 secondes pour une démo digne de ce nom, c'est un peu court, jeune homme...

    -On se fout grave de savoir combien de carré sont inscrits dans un cercle et autres fariboles, c'est hors sujet.

    -De quel piège parlez-vous? Y a pô de piège du tout! On n'a, de plus, pas besoin de Pi (et encore moins de vache...rie)...


    Pour faire court:

    Soit "r" le petit côté du petit carré (inscrit).
    Soit "R" le rayon du cercle,on voit que 2R égale au côté du grand carré (circoncis...euh...circonscrit).
    On voit que la diagonale du petit carré est égale aussi à 2R.
    On sait (normalement depuis longtemps déjà), que la diagonale d'un carré de côté "r" est rV2.

    On a donc:

    rV2=2R
    Je pose (question d'écriture clavier) °=2 pour élever chaque membres au carré ( Si!J'ai le droit...lol!).

    Et donc,

    (rV2)°=(2R)°, soit
    2r°=4R°

    J'y divise Depardieu (Si! J'ai re-le droit!) :
    r°=2R°)

    Là, on s'aperçoit sans faire exprès...oh, surprise, bon sang mais c'est bien sûr, que:

    r°, c'est mon aire du petit carré que je vais, vraiment, mais vraiment au hasard, appeler "a".
    R°, c'est...gnagnagna..............................grand CARRE....................appeler "A".
    Et ben, sauf erreur, on a bien [ a= 2A ]. Nan?

    En espérant ne pas vous avoir saoulé et vous avoir fait passer un p'tit moment de détente...


    En vous remerkiant...

    Cordialement,
    Thierry.

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  • audin

    audin

    08 janvier 2011 à 23:13 |
    Oui, a un detail pres ...
    La geometrie ce n'est pas du dessin et la demonstration ne se fait pas avec des ciseaux : il faudrait trouver les arguments geometriques qui traduisent le "decoupage". Dans la solution de Jean Le Mosellan, deux petits triangles valent l'un de vos deux triangles, vos deux triangles valent quatre des siens et ils couvrent bien la moitie du carre qui faisait huit petits triangles.

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  • Kaba

    Kaba

    03 novembre 2010 à 21:32 |
    La diagonale du petit carré est égale au côté du grand carré (et au diamètre du cercle).
    Je coupe le petit carré en deux triangles rectangles qui ont pour hypoténuse le diamètre du cercle. Je dispose ces deux triangles dans le grand carré, leur hypoténuse contre un côté du grand carré (deux côtés consécutifs). Et voilà, mes deux petits triangles couvrent la moitié du grand carré.

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  • lmlevy

    lmlevy

    18 septembre 2010 à 13:41 |
    Le fameux "Carré" de Léonard (où il a inscrit le non moins fameux homme en croix) est exactement ces carrés "inscrit ET circonscrit" à un cercle. Or la définition du carré de Léonard c'est : Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.
    Donc le grand est le double du petit. Je sais que ma démo n'a rien de mathématique, c'est plutôt "culturel". Mais bon, je fais comme je peux.

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    • audin

      audin

      18 septembre 2010 à 15:29 |
      Ah ? Pour moi, l'homme de Vitruve de Leonard de Vinci, c'est un dessin avec un homme qui a beaucoup de bras et de jambes. Mais le dessin ne fait apparaitre qu'un cercle et un carre qui n'est ni inscrit ni circonscrit au cercle. Mais je ne connais pas le texte de Leonard, seulement le dessin.
      La reponse culturelle est donc bonne, pour cette fois. Il vaut mieux, en general, se mefier d'une reponse sans demonstration. Par exemple, l'homme de Vitruve est un tres chouette dessin, mais qui vehicule du subliminal et de l'explicite. L'homme qui y est represente est cense avoir les proportions ideales. Ce sont les proportions utilisees par les nazis pour decider qu'un homme etait aryen ou pas. Leonard n'y est pour rien, bien entendu.

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  • Jean Le Mosellan

    Jean Le Mosellan

    18 septembre 2010 à 13:08 |
    Soit R le rayon du cercle. Sa surface est piR2. La surface du grand carré est : 2Rx2R La surface du petit est 2(R-r)x2(R-r). r étant la différence entre les côtés du carré. Le piège c’est le cercle. On n’en tient pas compte. La diagonale du petit carré est 2R. On trace les diagonales. Et on fait tourner ce carré jusqu’à ce que ces diagonales soient perpendiculaires aux côtés du grand carré. On a au total 8 triangles ayant la même surface. Le grand carré en a 8. Le petit 4. Donc le petit est 2 fois plus petit que le grand. OK ?

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    • audin

      audin

      18 septembre 2010 à 15:22 |
      OK !
      Le piege c'est le cercle ? Il fait quand meme un peu penser a ce que vous faites, faire tourner le petit carre autour du centre. Et du coup, on se fiche pas mal des calculs genre piR2 etc. Ce qui compte -- si j'ose dire -- c'est le nombre de triangles, tous identiques, qui remplissent l'un ou l'autre des deux carres.
      Dans la discussion dont je parlais, le specialiste qui pretendait que ca se fait en quinze secondes proposait sa solution : tourner le petit carre d'un quart de tour etc. Vous avez ete plus prudent, sans doute parce que vous n'etes pas "specialiste", en faisant "tourner jusqu'a ce que". En fait, vous tournez d'un huitieme de tour, et un specialiste devrait savoir qu'un quart de tour ne change pas le carre.
      Bravo, donc.
      Regardez votre dessin avec les triangles qui constituent le petit carre. Les quatre autres sont symetriques chacun d'un de ceux-la. On peut donc imaginer qu'on les obtient par depliage. Ou inversement, qu'en pliant, on passe du grand au petit carre. C'est tres largement a la portee d'un eleve de primaire, qui ne connait pas pi ou les racines carrees.
      Dernier detail : si on met un arbre a chaque coin du petit carre, on garde les arbres et on double la surface pour obtenir un grand carre, avec des arbres chacun au milieu d'un cote.

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      • Jean Le Mosellan

        Jean Le Mosellan

        18 septembre 2010 à 16:21 |
        En tout cas vous êtes tombé dans mon piège. C’est très rigolo. Le mien de piège c’est piR2 etc…OK ? Et je vous ai entraîné dedans. La solution c’était les diagonales tournantes autour du centre du cercle,le centre n’étant qu’un point bien situé qui n’est pas le cercle. Celui-ci n’est une circonférence tracée avec un compas autour. Je dirais même plus selon le raisonnement borgesien qu’il y a une infinité de cercles possibles autour de ce point. 1/8 de tour à droite ou à gauche + ou – infini,pour le carré qu’est-ce que ça change ? Rien du tout. Pour le compas oui et même infiniment.

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        • audin

          audin

          18 septembre 2010 à 18:05 |
          :-)
          Quand meme, pour parler du carre inscrit dans le cercle et circonscrit au cercle, on a quand meme besoin du cercle. Le dessin ... n'est qu'un dessin. Dans le texte, il n'est dit nulle part que les deux carres doivent avoir leurs cotes paralleles. Dans le cas de l'enonce, le dessin est nuisible, pas a cause du cercle, mais a cause des positions indiquees pour les carres, qui ne figurent pas dans le texte.
          Le carre dessine, puis celui qui a tourne d'un huitieme de tour (dans quel sens ?) ne sont que deux des carres inscrits dans le cercle.
          Il y a une infinite de carres inscrits dans le meme cercle, mais un seul dessine.
          Il y a bien de l'infini dans l'histoire, mais pas pour le cercle : de cercles inscrits dans un carre, il n'y en a qu'un, de cercle circonscrit a un carre, il n'y en a qu'un.
          Votre facon de proceder, avec les huit triangles pour un carre et seulement quatre pour l'autre, montre bien que l'aire du grand est double de l'aire du petit. Et si les carres des cotes sont dans un rapport 2, c'est que les cotes eux-memes sont dans un rapport "racine de 2". Ce qui ouvre un monde infiniment riche. :-)

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          • Jean Le Mosellan

            Jean Le Mosellan

            19 septembre 2010 à 12:28 |
            Je vois qu’en matière de pièges vous êtes le plus fort. Le cercle en est un. Le parallélisme des côtés des carrés un autre. Il ne fallait surtout pas s’amuser à calculer la surface du cercle. Vous savez que ça ne tombe jamais juste,à cause de pi. Il fallait juste,se servir de son centre pour la rotation des carrés,de manière à pouvoir les plier. Comme une affaire.

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  • audin

    audin

    18 septembre 2010 à 08:46 |
    Le coup de la diagonale et du côté du carré, on trouve ça dans le Ménon de Platon. Socrate explique à Ménon sa théorie d'accouchement des esprits, la maïeutique. Je ne vais pas détailler, mais dans cet exemple de relation pédagogique, l'un des protagonistes s'appelle le maître, l'autre ne s'appelle pas l'élève, mais l'esclave.

    Moi, c'est en quatrième que j'ai enseigné ça. Je me souviens d'un exercice (ça ne s'appelait pas "activité préparatoire"). Il était question d'une piscine carrée. A chaque coin, un chat. Non, à chaque coin, un arbre. On veut doubler la surface de la piscine, mais on aime les arbres et on ne veut pas y toucher.

    Mais c'est une activité que peuvent comprendre des enfants encore à l'école élémentaire. Coloriage, pliage, découpage sont des activités qu'on n'exploite pas suffisamment.

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  • lmlevy

    lmlevy

    18 septembre 2010 à 00:50 |
    Ouais. J'y suis pas mais y'a un truc de diagonale et de côté du carré. On me l'a fait en term, mais dans mes souvenirs c'était compliqué.
    Mais je vais trouver, c'est comme les mots croisés.

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